FUNGSI ATAU PEMETAAN

Advertisement

FUNGSI ATAU PEMETAAN

Pada abad ke-18 Joseph Louis Legrange, Matematikawan Italia kelahiran Prancis memulai kajian secara mendalam tentang teori fungsi. Kemudian pada awal abad ke-19 Augustin Louis Cauchy, matematikawan Prancis, mengembangkan hasil kerja Legrange mengenai fungsi. Ia juga mulai membuat analisis yang mendalam dan memulai kajian tentang fungsi variabel kompleks. Hasil karya ini kemudian dikembangkan lebih lanjut oleh dua metematikawan Jerman, yaitu Karl Theodor W. Weierstrass dan Georg Friedrich B. Riemann.

Konsep fungsi atau pemetaan dalam matematika merupakan konsep yang sangat esensial dan strategis. Tidak hanya sebagai suatu hal yang menjadi dasar untuk pengembangan matematika ke tingkat yang lebih lanjut, tetapi hampir semua bidang di luar matematika pun secara langsung atau tidak langsung banyak menggunakan konsep fungsi ini.

A.      PENGERTIAN FUNGSI


Misalkan A dan B masing-masing himpunan yang tidak kosong. Relasi f dari A ke B disebut fungsi jika dan hanya jika untuk setiap unsur a A dipasangkan dengan tepat satu unsur b B sehingga (a,b) f. Suatu fungsi f dari A ke B bisa juga disebut pemetaan dari A ke B,  dan ditulis  f : A → B.

Jika a A dipetakan oleh f, maka peta a oleh f ditulis f (a) = b B. Himpunan A disebut domain atau daerah asal dan sering ditulis dengan Df. Himpunan B disebut kodomain atau daerah kawan fungsi f. Himpunan semua peta dari unsur-unsur A disebut daerah hasil atau range dan sering ditulis dengan Rf. Jadi, Rf  ={f(x) Ix A} dan Rf adalah himpunan bagian dari kodomain  f atau Rf   B.

Suatu fungsi f  bisa dinyatakan dengan diagram, grafik, atau persamaan.

Misalkan diberikan suatu fungsi f  dari himpunan A = {2, 4, 8} ke himpunan B =  {1, 2, 3} yang dituliskan sebagai himpunan pasangan tururut f  = {(2,1), (4,2), (8,3)}. Fungsi f ini dapat dinyatakan dalam bentuk diagram dibawah.


           A         f        B

2.               .1

4.               .2

8.               .3


Jika dinyatakan sebagai grafik (sebagai himpunan titik-titik) dalam koordinat kartesius maka gambarnya tampak dibawah ini.




         4    

         3                                          (8,3)

         2                       (4,2)

         1            (2,1) 




            0     1    2    3    4    5    6    7   8  

Fungsi f  ini bisa juga dinyatakan oleh suatu persamaan atau rumus sebagai berikut :

f(x) =  , untuk setiap x  A = {2,4,8}

Domain dan range suatu fungsi

            Pada suatu fungsi f : A → B, A disebut domain D, B disebut kodomain, dan himpunan  B yang mempunyai pasangan di A desebut range R (daerah hasil ).

                   

B.       BEBERAPA FUNGSI KHUSUS


1.    Fungsi Identitas

Fungsi f : A → B yang didefinisikan oleh f(x) = x disebut fungsi identitas. Jika A menyatakan himpunan semua bilangan real atau A = R, maka grafiknya seperti terlihat dibawah ini.

f(x) = x

f(1) = 1

f(2) = 2

f(3) = 3

f(4) = 4

y                                           y=f(x)=x


           4

           3 

           2 

           1 




            0     1       2      3      4            x


2.    Fungsi Konstan

f  A → B disebut fungsi konstan jika dan hanya jika daerah hasilnya merupakan himpunan dengan satu unsur (lihat diagram).


A                B

        f

a1.

a2.               .b

a3.



Jika dituliskan dalam bentuk persamaan atau rumus, maka dapat dituliskan f (x) = b. jika A atau daerah asalnya himpunan bilangan real, maka grafik fungsi konstan merupakan garis lurus yang sejajar dengan sumbu x.


3.        Fungsi Tangga

Adaikan suatu fungsi ditentukan oleh :






            4

            3 

            2 

            1 




            0     1       2      3      4  


Fungsi diatas adalah satu contoh dari fungsi tangga.


4.        Fungsi Modulus / Mutlak

Fungsi modulus atau fungsi mutlak adalah fungsi yang memasangkan setiap unsur didaerah asalnya dengan nilai mutlaknya. Dalam bentuk pemetaan dituliskan :

m : x → m (x) = /x

Nilai mutlak suatu bilangan real x didefinisikan oleh :

=

Jadi, fungsi mutlak bisa dituliskan sebagai berikut :

(m (x) = =

                                          y

    y= -x                                                              y= x



                           ……………………

                                 …………....


                                           0                              x

Grafik fungsi f(x) =   digambarkan seperti pada gambar

Fungsi mutlak lainnya minsalnya :

F (x) =


5.        Fungsi Lenier

Fungsi lenier adalah fungsi f : R →  R yang didefinisikan dengan f(x) = ­ax ­+ b dimana ­a dan b konstan dengan a ≠ ­0. Secara geometri fungsi ini berbentuk suatu garis lurus. Misalnya fungsi f  didefinisikan oleh :  f (x) =  x + 6, x .

x = 0 → f (x) = 6 titiknya (0,6)

x = -9 → f (x) = 0 titiknya (-9,0)

m =    menyatakan gradient dari garis ini.                  


6.        Fungsi kuadrat

Fungsi kuadrad adalah fungsi yang dapat dinyatakan dengan  rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c   R dan a  0.

Misal suatu fungsi ditentukan oleh f(x) = 4x – x2 dengan domain

{x

x
   

-2
   

-1
   

0
   

1
   

2
   

3
   

4
   

5
   

6

f(x) = 4x – x2
   

-12
   

-5
   

0
   

3
   

4
   

3
   

0
   

-5
   

-12


Dari dibawah didapat :

a.       Range fingsi {x| -12 ≤ y ≤ 4, y

b.      Pembuat nol fungsi x = 4 dan x = 0.

c.       Nilai maksimun 4 untuk x = 2.

d.      Nilai minimum -12 untuk x = -2 atau x = 6.

                Y


            4    ………..    (2,4)

           

           

                

             0                2              4             

 (-2,12)                                        (6,12)



C.      SIFAT - SIFAT FUNGSI


Di bawah ini dibahas mengenai beberapa fungsi yang memiliki sifat-sifat tertentu. Nama-nama fungsi tersebut sesuai dengan sifat-sifat yang dimilikinya, seperti fungsi satu-satu (injektif), fungsi onto (surjektif), dan fungsi bijektif.


1.      Fungsi Injektif (Satu-satu)

Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif (satu-satu) jika dan hanya jika untuk setiap  a  a1 berakibat f(a)  f(a1) atau jika :

f(a)  f(a), maka a = a

A = {g,h,i,j}

B = {5, 6, 7,8}

f = {(g,5), (h,6), (i,7), (j,8) adalah fungsi infektif.

A               B

          f

g.              .5

h.                 .6

             i .              .7

j .              .8



2.        Fungsi Surjektif (Onto)

Jika f  adalah fungsi yang memetakan A ke B, maka daerah hasil f(A) adalah suatu himpunan bagian dari B, f(A)  B. Apabila f(A) = B, yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A maka dikatakan ­f  adalah suatu fungsi surjektif.

Dengan kata lain, suatu fungsi f : A  B disebut fungsi surjektif (onto) jiak dan hanya jika untuk setiap y  B terdapat x  A sehingga y = ­f(x).

Misal A = {­a, b, c, d} dan B {1, 2, 3}. Fungsi f : A  B yang didefinisikan dengan diagram panah seperti pada gambar adalah suatu fungsi yang surjektif (onto) karena daerah hasil dari f  adalah sama dengan kodomain dari f (himpunan B).


            A               B

                         f

a.               .1

b.               .2

c .              .3

d .            


3.        Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

Suatu pemetaan f : A → B yang merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, dikatakan “f  adalah suatu fungsi bijektif” atau “A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.

Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B = {1, 2, 3} yang ditunjukkan oleh diagram dibawah adalah suatu fungsi yang bijektif.

A               B

                         f

a.            .1

b.            .2

d .           .3          



Contoh 1 :

Periksa apakah fungsi f : R → R yang didefinisikan dengan persamaan f(x) = x2 merupakan fungsi satu-satu?


Penyelesaian :

f(x) = x2 bukan merupakan fungsi satu-satu karena terdapat (-2) dan 2 di R dengan -2 ≠ 2, tetapi f(-2) = f(2).


Contoh 2 :

Periksa apakah fungsi diatas juga merupakan fungsi surjektif.

Penyelesaian :

f(x) = x2 bukan merupakan fungsi surjektif karena terdapat y dan R (daerah kawan) yaitu y = -2 sehingga untuk setiap x di R (daerah asal) b(x) ≠ -2.


D.  ALJABAR FUNGSI


1.        Jumlah dan Selisih Dua Fungsi

Bila f  dan g masing-masing adalah fungsi dengan domain ­Df  dan Dg, ­Df  Dg ≠ .

a.       Jumlah fungsi f dan g ditulis f  + g adalah suatu fungsi : (f  + g) : x →  f(x) + ­g(x).

b.      Selisih f dan g, ditulis f – g  adalah irisan dari Df  dan D­g (Df  D­g).


Domain dari f  + g dan f – g adalah irisan dari Df  dan D­g (Df D­g).

Contoh 3 :

Diketahui f  dan g masing-masing fungsi pada R yang didefinisikan dengan f(x) = x3 – 3­x2 dan g(x) = ­x + 3

Tentukan :

a.       Rumus ­ f  + g

b.      (f  + g) (2)

c.       Rumus f – g

d.      (f – g) (2)


Penyelesaian :


a.       (f  + g)(x) = f(x) + g(x)

 = x3 – 3­x ­­2 + x + 3

b.      (f  + g)(2) = 23 – 3­.2 ­­2 + 2 + 3

 = 8 – 12 + 5 = 1

c.       (f – g)(x) = ­f (x) – ­g(x)

= x3 – 3­x ­­2 – x – 3

d.      (f – g)(2) = 23 – 3­.2 ­­2 – 2 – 3

= 8 – 12 – 5 = -9


2.        Perkalian Dua Fungsi

Bila f  dan g masing-masing adalah fungsi dengan domain ­Df  dan Dg, ­Df  Dg ≠  , hasil kali dua fungsi ­f  dan g yang ditulis f . g didefinisikan dengan :

Dengan domain dari f . g adalah D­­f    Dg

Contoh 4 :

Diketahui f  dan g masing-masing fungsi pada R yang didefinisikan f(x) = ­x2 – 5x + 4 dan g(x) = ­x – 2

Tentukan :

a.       (f  . g)(x)

b.      (f  . g)(2)

c.       (f  . g)(-2)


Penyelesaian :

a.       (f  . g)(x) = f(x) . g(x)

= ­(x2 – 5x + 4) (­x – 2)

= x3 – 7x2 + 14x – 8

b.      (f  . g)(2) = 23 – 7.22 + 14.2 – 8

= 8 – 28 + 28 – 8 = 0

c.       (f  . g)(-2) = (-2)3 – 7. (-2)2 + 14. (-2) – 8

  = -8 – 28 – 28 – 8 = -74

Contoh 5 :

Fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai berikut :

f(x) = {(2,1), (3,4), (5,2), (4,3)}

g(x) = {(2,2), (3,2), (4,-5), (6,2)}

Tentukan f.g

Penyelesaian :

f.g : x → f(x) . g(x) untuk setiap x Df    Dg

(f.g)(x) = {(2,2), (3,8), (4,-15)}




3.        Pembagian Dua Fungsi

Bila f  dan g masing-masing adalah fungsi dengan domain Df  dan Dg, dengan D­­f ≠ Dg, hasil bagi f  dan g yang ditulis dengan   didefiniskan sebagai   : x →     atau   untuk setiap ­x D­­f Dg  dengan g(x) ≠ 0. Jadi domain dari     adalah D­­f Dg  dengan g(x) ≠ 0.

Contoh :

Diketahui f  dan g masing-masing fungsi pada R didefinisikan dengan :

f(x) = ­x2 – 3x + 2

g(x) = ­x – 2

Tentukan :

a.                       b.                                 


Penyelesaian :

a.     

                          =  =  , x ≠ 2

                          = x-1, x ≠ 2

       

                    

E.       FUNGSI KOMPOSISI


1.        Pengertian Fungsi Komposisi

Dari dua buah fungsi yang diberikan,misalnya f  dan g. Dengan syarat-syarat tertentu kita dapat membentuk fungsi baru, gabungan dari fungsi f  dan fungsi g. Fungsi baru ini disebut fungsi komposisi dari fungsi f  dan g.

Sebagai ilustrasi, misalkan fungsi f  dan g masing-masing kita pandang sebagai mesin f  dan mesin g. Jika x merupakan masukan (input) bagi mesin f , maka keluarannya (ouput) adalah f(x). Keluaran dari f  ini selanjutnya dianggap sebagai masukan bagi mesin g sehingga keluarannya adalah g(f(x)).


Misalkan mesin f  mempunyai persamaan g(x) = x2. Jika bilangan 2 dimasukkan ke dalam mesin f  maka keluarannya adalah f(2) = 2.2 – 4 = 4 – 1 – 3. keluaran  ini dimasukkan ke dalam mesin g (sebagai masukan mesin g), maka keluarannya adalah :

g(f(2)), = g(3) = 32 = 9.

Diagram didapat bahwa persamaan h adalah h(x) = g(f(x).

Fungsi h yang didapat dengan cara seperti ini disebut fungsi komposisi dari fungsi f  dan g dan dilambangkan dengan g o f. Jadi, h = g o f  dan h(x) = (g o f)(x) sehingga (g o f)(x) = g(f(x)).

   A                  B                  C


        x               g                   f

                         (x)           g(f(x))    


                           

                             h                        

Fungsi h yang didapat dengan cara seperti ini disebut fungsi komposisi dari fungsi f  dan g dan dilambangkan dengan g o f. Jadi, h = g o f  dan h(x) = (g o f)(x) sehingga (g o f)(x) = g(f(x)).

Catatan :

g o f  dibaca “g bundaran f  atau g komposisi f ”

Fungsi komposisi h = g o f  bisa didapat jika range f  merupakan himpunan bagian dari domain g atau secara umum g o f  bisa didapat jika Rf  Dg ≠  .

Kita dapat pula membuat fungsi komposisi lain dari fungsi komposisi lain dari fungsi f  dan g yaitu g o f  dengan persamaan (f o g)(x) = f(g(x)).

Perhatikan diagram dibawah!

   P                  Q                   R


        x              g                   f

                          g(x)                   


                      f(g(x))                       

Sekarang kita dapat membuat definisi secara formal dari fungsi komposisi.

Contoh 7 :

Misalkan f  dan g masing-masing fungsi pada R yang didefinisikan oleh f(x) = x­­­­2 – 4 dan g(x) = x – 2. tentukan rumus atau persamaan dari fungsi-fungsi :

a.       g o f

b.      f o g

Penyelesaian :

a.       (g o f)(x) = g(f(x))

= g(x2 – 4)

= (x2 – 4) – 2

= x2 – 6

b.      (f o g)(x) = f(g(x))

= f(x – 2)

= (x – 2)2 – 4

= x2 – 4x + 4 – 4

= x2 – 4x

Contoh 8 :

Diberikan fungsi f  dan g seperti diagram dibawah.

Tentukan (g o f)(1), (g o f)(2), dan (g o f)(3)

A               B                                     A                B     

1.


2.


9.

.1


.0


.5

1.              .1                      1.                            

2.                                           

                 .4                                           .

3.                                                                      



Penyelesaian :

(g o f)(1) = g(f(1)) = -1

(g o f)(2) = g(f(2)) = 0

(g o f)(3) = g(f(3)) = 0nnnn


2.        Sifat-sifat Fungsi Komposisi

Sebelum membahas sifat-sifat fungsi komposisi, terlebih dahulu akan dijelaskan pengertian kesamaan dua buah fungsi.

Dua buah fungsi f  dan g disebut sama jika dan hanya jika fungsi f  dan g mempunyai domain dan kodomain yang sama untuk setiap x didomainnya berlaku f(x) =  g(x) dan ditulis ­f  = g.

Sebagai contoh, misalnya fungsi f  dan g masing-masing mempunyai persamaan f(x) =      dan g(x) = x + 1. fungsi f  dapat ditulis juga:

f(x) = = x+1, x≠ -1.

Fungsi f  dan g mempunyai rumus persamaan yang sama, tetapi domain fungsi f  dan g berbada (Df  = R, Dg = R – {-1}). Dengan demikian fungsi ­f  tidak sama dengan fungsi g atau f  ≠ g.

Selanjutnya sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi komposisi adalah sebagai berikut :

a.             Fungsi komposisi bersifat asosiatif, artinya (f o g) o h = f o (g o h).

Untuk menunjukkan kesamaan diatas, ambilah sembarang x  R, sehingga :

((f o g) o h) = (f o g)(h (x))

 = f (g(h(x))

 = f (g o h)(x))

 = (f o (g o h))(x)

Berdasarkan kesamaan dua fungsi, dapat disimpulkan (f o g) o h = f o (g o h)

b.            Jika I menyatakan fungsi identitas yaitu I(x) = x dan f  adalah fungsi yang diberikan, maka berlaku hubungan f o I = I o f = f.

Bukti : Ambil sembarang x  R, sehingga :  

(f o I)(x) = f(I(x)) = f(x) dan

(I o f)(x) = I(f(x)) = f(x)

Karena berlaku untuk setiap x, maka f o I = I o f = f.


Peiksa apakah fungsi komposisi bersifat komutatif yaitu apakah (g o f) = (f o g)?


3.        Menentukan Fungsi f  jika Fungsi g dan g o f  (atau f o g) Diketahui

Dibawah ini berikan contoh-contoh cara menentukan fungsi f  jika fungsi g dan fungsi komposisi g o f  (atau f o g) diketahui.

Contoh 9 :

Fungsi f  dan g terdefinisi pada R dan diketahui bahwa g(x) = 3x + 1 dan f o g(x) = 9x2 + 6x + 2, tentukan f(x)!

Penyelesaian :

f o g(x) = f(g(x)) = f (3x + 1) = 9x2 + 6x + 2

 = (9x2 + 6x + 2) + 1

 = (3x + 1)2 + 1

Misal y = 3x + 1, maka f(y) = y2 + 1

Jadi, f(x) = y2 + 1


F.       FUNGSI INVERS


1.        Pengertian Fungsi Invers

Perhatikan diagram dari fungsi f  dibawah ini! Fungsi f  memetakan semua unsur di A ke himpunan B yaitu f(p) = 1,   f (q) = 4,   f(r) = 2, dan  f(s) = 3.

   A               B

  p.              .1

  q.              .2

  r .             .3

  s .             .4


Sekarang arah panah dan pemetaan f  dibalik sehingga diperoleh diagram seperti gambar dibawah!

  B             A

  1.             .p

  2.             .q

  3 .             .r

  4.              .s


            Dari diagram ini, ternyata aturan pemasangan seperti terlihat diatas merupakan fungsi dari himpunan B ke himpinan A. Jika fungsi ini kita sebut dengan ­g, maka fungsi g ini disebut fungsi invers dari f  atau sebaliknya.

Persoalan sekarang, apakah aturan pemasangan yang ditentukan dengan cara seperti di atas selalu merupakan fungsi?

Untuk menjawab pertanyaan di atas, perhatikanlah fungsi f  yang didefinisikan pada gambar dibawah!

A             B

           1.              .a

           2.              .b

           3 .            . .c

           4 .             .d


Jika arah pemetaan dibalik, maka diperoleh diagram seperti dibawah ini.

B            A

1.             .a

2.             .b

3.             .c

4 .            .d



Ternyata, seperti terlihat pada diagram diatas bahwa aturan pemasangan itu tidak merupakan fungsi mengapa?).


Dari uraian diatas didapat suatu kesimpulan, bahwa invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi lagi. Jika invers fungsi merupakan fungsi lagi, maka fungsi yang didapat disebut fungsi invers.


2.        Syarat Invers Suatu Fungsi Supaya Merupakan Fungsi

Dari ilustrasi pertama diatas dapat dilihat bahwa fungsi f  bijektif dan inversnya merupakan fungsi. Sedangkan para ilustrasi kedua, fungsi f  bukan fungsi bijektif.

Jadi, kita dapat menduga untuk sementara bahwa syarat fungsi f  mempunyai invers yang merupakan fungsi adalah bahwa f  harus merupakan fungsi bijketif. Marilah kita periksa dugaan itu.

Invers suatu fungsi f  biasanya ditulisnya dengan f -1. misalkan f = A  → B dan f  fungsi bijektif.

a.)    Ambilah sembarang unsur b B

Karena f  fungsi onto, maka selalu terdapat a  A sehingga f(a) = b atau f -1 (b) = a. Jadi, setiap unsur di B mempunyai pasangan di A.

b.)    Karena f  satu-satu, maka pasangan b  B di A selalu unik (tunggal).


Dari kedua uraian ini dapat disimpulkan bahwa f -1 adalah fungsi. Ternyata, dugaan kita benar, jadi dapat ditarik kesimpulan bahwa syarat yang perlu dan cukup supaya invers fungsi f  merupakan fungsi adalah bahwa f  merupakan fungsi bijektif.­

Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa fungsi invers f -1­­ juga bijketif (coba periksa sendiri).


















PENUTUP


A.      Kesimpulan


Bahwa fungsi merupakan sebagai pemetaan atau pasangan terurut, minsalkan fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi sedemikian sehingga setiap anggota himpunan A dipasangakn dengan tepat satu anggota himpunan B. Pada suatu fungsi f  : A → B, A disebut domain D, B disebut kodomain, dan himpunan aggota B yang mempunyai pasangan di A disebut range R (daerah hasil). Didalam fungsi memiliki beberapa sifat yaitu : fungsi Injektif (satu-sat), Surjektif (onto), dan Bijektif (konrespondensi).



B.       Solusi Dalam Pembelajaran Fungsi di SMP dan SMA


Bahwa materi yang di samapaikan oleh pengajar atau seorang guru kepada siswa peserta didiknya itu, haruslah benar-benar dikuasai dan dapat dipahami oleh semau siswa khususnya pada materi tentang fungsi, sehingga murid dengan mudah mengembangkan dan menerapkan  apa yang telah diajarkan oleh guru sebagai ilmu pengetahuan yang dapat dipergunakan.


Kemudian didalam proses pembelajaran kita harus mengetahui terlebih dahulu masalah apa yang dihadapi oleh murid tersebut. Minsal kurangnya minat belajar siswa yang disebabkan oleh tidak nyamannya tempat belajar maka kita harus menuntaskan terlebih masalah-masalah yang dihadapi oleh siswa tersebut. Lalu seorang guru agar dapat menggunakan media-media yang dapat membangun minat belajar siswa. Didalam menyampaikan materi guru diharapkan mengakaitkannya dengan kehidupan sehari hari serta seorang guru mampu sedikit humoris untuk menghindari stress dan ketegangan siswa,  sehingga siswa akan aktif dan kreatif didalam menanggapi pelajaran yang diberikan.



DAFTAR PUSTAKA


Sujatmiko, Ponco, 2005, Matematika Kreatif, Solo Tiga Serangkai Puskata Mandiri.

Martin Sri . 2005, Paham Pembelajarn Matematika, Surakarta, mediatama .

Wirodikromo Sarton, 2006, Matematika,  Erlangga. Jakarta.

Suparto Theresia. M. H. Tirta.1989, Dasar Matematika. Jakarta.

Departemen Pendidikan Nasiaonal, Kurilkulum 2004 Berbasis Kompetensi, Standar Mata Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Atas dan Madrasah Aliyah, Jakarta.

Advertisement